企鵝解謎實驗室 · 解答與提示

解答與提示

逐題解法與三階段提示

12 道題目 · 入門／推理／挑戰各 4 題 · 作答預估 56 分鐘

本冊包含完整解答。帶活動時，可先依序提供提示，再一起核對推理過程。

第 01 題 ／ 共 12 題

冰箱留下的三個位元組

訊號入門 · 難度 1/3預估 2 分鐘

答案ICE

解題步驟

  1. 01001001 = 73、01000011 = 67、01000101 = 69。
  2. 依 A = 65 的規則，三個字母依序是 I、C、E，因此答案為 ICE。
  3. 每行都固定為 8 位元，行的順序就是字母的順序。

逐級提示

  1. 先處理第一行，只把值為 1 的位置所對應的權重加起來。
  2. 第一行是 64 + 8 + 1 = 73；從 A = 65 往後數 8 格。
  3. 三行的十進位數值依序是 73、67、69，再逐個換成字母。

練習觀念：二進位位值與字元編碼

第 02 題 ／ 共 12 題

往前滑了三格的雪報

訊號入門 · 難度 1/3預估 2 分鐘

答案SNOW

解題步驟

  1. 解密要撤銷加密的右移 3 格，因此 V → S、Q → N、R → O、Z → W，得到 SNOW。
  2. 這是固定偏移量的 Caesar 替換規則。

逐級提示

  1. 加密往右移，解密就要往左移相同的格數。
  2. V 往左移 3 格是 S；Q 往左移 3 格是 N。
  3. 後兩個字母也各往左移 3 格：R 的左邊依序是 Q、P、O。

練習觀念：Caesar 位移與可逆替換

第 03 題 ／ 共 12 題

四盞燈的玩具密碼

訊號入門 · 難度 1/3預估 3 分鐘

答案0111

解題步驟

  1. 把密文再次 XOR 同一把鑰匙：1101 XOR 1010 = 0111。
  2. 逐位結果是 0、1、1、1。
  3. XOR 自己會得到 0，而 XOR 0 不改變原值，所以這個操作可以還原。
  4. 這裡只有 4 位元，是教學用玩具規則。

逐級提示

  1. 對同一位元連續 XOR 同一把鑰匙兩次，就會回到原本的值。
  2. 因此原文 = 密文 XOR 鑰匙。最左邊是 1 XOR 1 = 0。
  3. 第二、第三位分別是 1 XOR 0 與 0 XOR 1；它們的結果都是 1。

練習觀念：逐位 XOR 與自反運算

第 04 題 ／ 共 12 題

魚餅收據的最後一格

訊號入門 · 難度 1/3預估 3 分鐘

答案3

解題步驟

  1. 加權總和為 2 + 10 + 3 + 28 = 43。
  2. 43 = 4 × 10 + 3，所以校驗碼為 3。
  3. 這種規則能協助發現部分抄寫錯誤，但不同資料仍可能得到同一個校驗碼。

逐級提示

  1. 先逐個相乘，再相加；不是把 2517 整個乘上一個數字。
  2. 算式是 2 × 1 + 5 × 2 + 1 × 3 + 7 × 4。
  3. 四項合計 43；43 除以 10 的餘數就是最後一格。

練習觀念：加權校驗碼與餘數

第 05 題 ／ 共 12 題

只有一張標籤說實話

推理推理 · 難度 2/3預估 4 分鐘

答案B

解題步驟

  1. 鑰匙在 A 時，A、B 兩張為真；
  2. 在 C 時，A、C 兩張為真；
  3. 在 B 時，只有 C 的「鑰匙不在 A 箱」為真。
  4. 因此唯一符合條件的位置是 B 箱。

逐級提示

  1. 可以分別假設鑰匙在 A、B、C，檢查各有幾張真標籤。
  2. 若鑰匙在 A，A 與 B 的標籤都是真的，違反只有一張真的條件。
  3. 若鑰匙在 C，A 與 C 的標籤都是真的。剩下的位置再檢查一次。

練習觀念：有限情況分析與真假約束

第 06 題 ／ 共 12 題

魚餅列隊不能插隊

演算法推理 · 難度 2/3預估 4 分鐘

答案B,D,C,E,A

解題步驟

  1. 優先值 1 的 B、D 先出貨，兩者同重而 B 先抵達，所以是 B、D。
  2. 優先值 2 的重量順序為 C、E、A，C 與 E 同重而 C 先抵達。
  3. 合併得到 B,D,C,E,A。
  4. 相同排序鍵仍保留輸入順序，稱為穩定排序。

逐級提示

  1. 先分成優先值 1 與優先值 2 兩組，優先值 1 的整組在前面。
  2. B 與 D 的兩項數值完全相同，所以 B 仍在 D 前面。
  3. 優先值 2 的包裹裡，重量 5 的 C、E 都比重量 8 的 A 早；C 又比 E 早抵達。

練習觀念：多欄位比較與穩定排序

第 07 題 ／ 共 12 題

單向冰道的熱湯快遞

演算法推理 · 難度 2/3預估 5 分鐘

答案A>C>B>D>T

解題步驟

  1. 最快先走 A → C → B，耗時 2 + 1 = 3；
  2. 再走 B → D → T，耗時 2 + 3 = 5。
  3. 總計 8 分鐘，路徑為 A>C>B>D>T。
  4. 其他可行路徑的耗時為 9、11、11、12、12 分鐘，所以最短路徑唯一。

逐級提示

  1. 轉彎次數少，不一定比較快。先比較到達 B 的兩種走法。
  2. A → B 要 4 分鐘；A → C → B 只要 2 + 1 = 3 分鐘。
  3. 從 B 經 D 到 T 只要 2 + 3 = 5 分鐘，比 B 直接到 T 的 8 分鐘更快。

練習觀念：有向加權圖與最短路徑

第 08 題 ／ 共 12 題

哪一格燈號偷偷翻面

訊號推理 · 難度 2/3預估 5 分鐘

答案2,3

解題步驟

  1. 第 2 列的 0、1、1 加上校驗位元 1，共有 3 個 1，違反偶數規則。
  2. 第 3 欄的 1、1、0 加上校驗位元 1，也有 3 個 1。
  3. 其餘列與欄皆通過，故損壞位置是第 2 列、第 3 欄，即 2,3。
  4. 把該格從 1 改回 0 後，所有檢查都通過。

逐級提示

  1. 先逐列計算 1 的個數，記得把該列的校驗位元也算進去。
  2. 第 2 列加上校驗位元共有 3 個 1，是奇數，所以損壞位元位於第 2 列。
  3. 用相同方法逐欄檢查。唯一失敗的欄與第 2 列的交點，就是答案。

練習觀念：二維偶校驗與單一錯誤定位

第 09 題 ／ 共 12 題

最後一盞跨冰橋的燈

演算法挑戰 · 難度 3/3預估 8 分鐘

答案22

解題步驟

  1. 最優安排是 A、B 向右（3），A 向左（2），C、D 向右（11），B 向左（3），A、B 向右（3），合計 22 分鐘。
  2. 驗證最短時間時，可以把四隻企鵝各在哪一岸、燈在哪一岸當成狀態；
  3. 最多只有 2⁵ = 32 個狀態。
  4. 列出所有合法的一人或兩人往返並累加耗時，從全在左岸到全在右岸的最短距離也是 22，因此沒有更快安排。
  5. 題目只問最短時間，不要求特定往返順序。

逐級提示

  1. 兩隻最慢的企鵝若能一起過橋，就可以把 7 分鐘的那段藏在 11 分鐘裡。
  2. 先讓 A、B 到右岸，再讓 A 帶燈回左岸，便能準備讓 C、D 一起過橋。
  3. C、D 過橋後，由已在右岸的 B 把燈帶回；最後 A、B 再一起過橋。五趟耗時依序為 3、2、11、3、3。

練習觀念：狀態空間與最短路徑建模

第 10 題 ／ 共 12 題

把八位元機器倒著拆

訊號挑戰 · 難度 3/3預估 7 分鐘

答案00011100

解題步驟

  1. 先倒推加法：203 − 17 = 186 = 10111010。
  2. 再倒推 XOR：10111010 XOR 01011010 = 11100000。
  3. 最後循環右移 3 格，得到 00011100。
  4. 正向檢查：00011100 左移後為 11100000，XOR 後為 10111010，加 17 後就是 11001011。
  5. 三個步驟都可逆，因此原值唯一。

逐級提示

  1. 復原時要顛倒步驟順序：先撤銷加 17，再撤銷 XOR，最後撤銷循環左移。
  2. 203 − 17 = 186，其 8 位元表示為 10111010。對它再 XOR 01011010。
  3. 撤銷 XOR 後得到 11100000。循環左移 3 格的反操作，是循環右移 3 格。

練習觀念：可逆變換、位元旋轉與逆序還原

第 11 題 ／ 共 12 題

兩道校驗找回魚箱編號

訊號挑戰 · 難度 3/3預估 7 分鐘

答案47231

解題步驟

  1. 第一道給出 x + y = 10。
  2. 代入第二道，15 + 2x + 4y = 35 + 2y，其值介於 35 至 53 且必為奇數。
  3. 區間內除以 11 餘 8 的數字有 41、52，但只有 41 是奇數，所以 y = 3、x = 7。
  4. 完整編號為 47231。
  5. 檢查：4 + 7 + 2 + 3 + 1 = 17，餘數為 6；4 + 14 + 6 + 12 + 5 = 41，餘數為 8。

逐級提示

  1. 第一道校驗可寫成：7 + x + y 除以 11 的餘數為 6。也要用到 x、y 都是個位數的限制。
  2. x + y 介於 0 與 18，所以第一道校驗只能對應 x + y = 10。第二道則是 15 + 2x + 4y 除以 11 餘 8。
  3. 把 x = 10 − y 代入，第二道總和變成 35 + 2y，必定是奇數。總和介於 35 至 53；此範圍除以 11 餘 8 的數字有 41、52，只有 41 是奇數。

練習觀念：模運算、數值範圍與聯立約束

第 12 題 ／ 共 12 題

誰都沒坐自己的位子

推理挑戰 · 難度 3/3預估 6 分鐘

答案B,D,A,E,C

解題步驟

  1. A 不能站第 1 格，且後面必須容納 E、C，因此 A 只可能在第 2 或第 3 格。
  2. 若 A 在第 2 格，E 在第 3 格，C 必須佔第 4 或第 5 格，剩下的位置無法讓 B、D 相鄰。
  3. 故 A 在第 3 格、E 在第 4 格、C 在第 5 格，B、D 依序佔第 1、2 格。
  4. 唯一順序為 B,D,A,E,C，五隻也都沒有站在自己的原位置。

逐級提示

  1. 把 B、D 視為一個相鄰區塊，把 A、E 視為另一個相鄰區塊；C 必須在 A、E 區塊之後。
  2. A 不能在第 1 格；也不能在第 4 或第 5 格，否則右邊放不下 E 與 C。只剩第 2 或第 3 格。
  3. 若 A 在第 2 格，E 就在第 3 格，剩下的第 1、4、5 格無法安排 B、D 相鄰且 C 在 E 右邊。試試 A 在第 3 格。

練習觀念：錯排、相鄰區塊與約束傳播